12964 מאמרים - מנוע לחיפוש מאמרים - פרסום מאמרים חינם

נושא המאמר: כשמיתר רועד — היקום שר: האוברטונים, ההרמוניות והמתמטיקה שמאחורי המוזיקה
מאת: ביישן   שמור מאמר למועדפים

אם אתם מנגנים, ודאי עשיתם את הפעולה הזאת אלפי פעמים.
יצרתם צליל. הפעלתם רטט באוויר. מתחתם מיתר.
לא משנה איך — ביד, במפרט, בפטישים או במקלות ברזל; (כמו בפיקאפ של הגיטרה החשמלית, בפסנתר החשמלי (E.P., בסינתיסייזר שיוצר צליל באמצעות מעגלים חשמליים — אנלוגי, דיגיטלי או מודולרי — או אפילו סתם בהקלטה, בדגימת קול.
עשיתם את זה.
אבל... עצרתם פעם לחשוב מה באמת קורה באותו רגע?
המיתר נמשך. המתח שבו שואף להחזיר אותו למצבו הישר, אך המסה שלו ממשיכה אותו מעבר — ממש כמו נדנדה שעברה את המרכז את נקודת שיווי המשקל .
כך נוצר גל: נקודות עולות ויורדות, קמות ויושבות לאורך המיתר כולו. הגל מגיע אל הקצה, חוזר ממנו — אבל הפוך. אם הלך ימינה, הוא שב שמאלה; אם עלה, כעת הוא יורד.
ועכשיו קורה דבר יפהפה.
יש לנו שני גלים הנעים בכיוונים מנוגדים: האחד עולה, האחר יורד. כשהם נפגשים באמצע, זה מושך לכאן וזה מושך לכאן — ובנקודת המפגש אין תזוזה. דממה.
או אז נוצרות שתי לולאות משני צדי האמצע, העולות ויורדות ללא הרף. מבחינת הגלים, הם עדיין עוברים את כל הדרך; אבל מכיוון שהדרך התקצרה למחצית אורך המיתר, אע"ג שהמהירות נשארה זהה — התדר השתנה.
אם קודם היו לנו מאה תנודות בשנייה (הרץ), כעת יהיו מאתיים.
אותו התהליך חוזר שוב ושוב: שלוש מאות, ארבע מאות וכן הלאה — בשלמים בלבד, בכפולות בלבד: אחת, שתיים, שלוש...
כי גם אם ייווצר מצב שאינו כפולה שלמה, הוא פשוט לא יתאים לתנאי השפה של המיתר, ולכן לא יוכל להתקיים לאורך זמן.
אפשר לדמות זאת לגלים הנוצרים כאשר זורקים טיפה אל האוקיינוס — גלים באורכים שונים, המתקיימים כולם במקביל.
וכדי למנוע טעות, חשוב להדגיש: ההסבר הזה נועד לפשט את ההבנה.
בפועל, כל הגלים נוצרים יחד, באותו רגע ממש שבו משכתם במיתר. מה שאנו רואים הוא מעין בלגן — וזהו, בעצם, פתרונו... כאשר כתבתי.
מבחינת המאתיים, הארבע מאות וכן הלאה, קיימות נקודות צומת שבהן אותו מוד אינו מניע את המיתר. אבל באמת אין שם "דממה" מוחלטת, משום שהמוד הראשון — המאה — דווקא כן מניע את האמצע, וכך גם שלוש מאות וכן הלאה.
כלומר, מה שקיים בפועל הוא שיקלול של כל הגלים יחד.
ההרמוניה היסודית, שלרוב גם תהיה החזקה ביותר, היא זו שאנו תופסים כגובה הצליל שאנו שומעים.
במילים אחרות: זהו עקרון הסופרפוזיציה, ו (פירוק הצליל לסכום של גלי סינוס מתואר באמצעות) פירוק פורייה. (כן, הצרפתי ההוא...)
כעת בואו נראה אילו צלילים מסתתרים בתוך כל זה.
האוקטבה עובדת בכפילות תדרים. אם המאה, לדוגמה, הוא דו (ואגב, דו האמצעי במציאות הוא בערך 261.6 הרץ), הדו הבא יהיה במאתיים, השלישי בארבע מאות והרביעי בשמונה מאות.
היחסים בין המרווחים הם:
• שתיים לאחת — אוקטבה.
• שלוש לשתיים — קווינטה זכה.
• ארבע לשלוש — קוורטה זכה.
• חמש לארבע — טרצה גדולה.
• שש לחמש — טרצה קטנה טהורה.
כעת נביט בהרמוניה הראשונה שאינה כפולה של האוקטבה.
השלוש מאות נמצא למעשה באוקטבה השנייה מעל הדו. נרד אוקטבה אחת, וכפי שאמרנו — כפילות פירושה ירידה בחצי. נקבל מאה וחמישים, וזוהי הקווינטה הזכה.
ומה עם החמש מאות, אתם שואלים?
נחלק שוב: מאתיים וחמישים. עדיין מעל הדו השני. נחלק שוב — מאה עשרים וחמש.
היחס הוא אחד ורבע, כלומר חמש לארבע — הטרצה הגדולה.
וכעת נעשה עוד צעד.
נדלג מדו אחד לדו הבא באמצעות קווינטות בלבד. נזדקק לשתים עשרה קווינטות ממעגל הקווינטות העומד לרשותנו — ונגיע... ותכף נראה בדיוק איך אני יודע... לשבע אוקטבות מעל נקודת ההתחלה.
בחלק הבא יגיע אחד הקטעים המעניינים ביותר: למה שתים־עשרה קווינטות אינן שוות בדיוק לשבע אוקטבות, מהו הפסיק הפיתגורי, ומדוע נולדה שיטת הטמפרמנט השווה.

חלק ב' — כשהמתמטיקה מגלה שהמוזיקה אינה מושלמת
כעת, אם נחשב דרך האוקטבות את התדר שאמרנו שעובד בכפילויות — נקבל שתיים בחזקת שבע.
ובכן:
(1) שתיים.
(2) ארבע.
(3) שמונה.
(4) שש עשרה...
שלוש — כלומר, שמונה כפול ארבע, קרי שש עשרה — שווה שבע...
(חה... לא שתים עשרה).
כלומר:
2? = 128.
שבע אוקטבות הן פי 128 בתדר.
עכשיו נחזור לקווינטות.
קווינטה היא יחס של שלוש לשתיים — כלומר אחד וחצי.
אם נחשב:
1.5 בחזקת 12
נקבל:
129.746337890625
המספר הקרוב ביותר אליו הוא שבע אוקטבות:
128.
ולכן היחס ביניהם הוא:
1.013643264...
כלומר, שתים עשרה קווינטות אינן שוות בדיוק לשבע אוקטבות.
הן גבוהות יותר בערך ב־1.364%.
זהו הפסיק הפיתגורי.
וכאן מתחילה אחת הבעיות המרתקות בתולדות המוזיקה.
אם נכוון לפי אוקטבות, ואחר כך לפי קווינטות, בסופו של דבר תיווצר קווינטה אחת שתהיה "מזויפת".
קווינטת הזאב.
חשוב לדייק: היא אינה בהכרח נמצאת בין סול לדו. המיקום שלה תלוי בשיטת הכיוון. בכיוון פיתגורי היא מופיעה בדרך כלל בין G? ל־ E?, או בין המקבילים האנהרמוניים שלהם.
)הפסיק הפיתגורי מיוחס לפיתגוראים. לא ידוע בוודאות שפיתגורס עצמו גילה אותו, וייתכן שהתגלה רק מאוחר יותר במסגרת התפתחות התאוריה המוזיקלית.(
אגב, לא בטוח שכל אחד ישמע את ההבדל הזה בתוך מלודיה רגילה, אבל הוא הופך משמעותי כאשר מנגנים מרווחים ואקורדים, או כאשר מנסים לסגור את מעגל הקווינטות.
וחוסר ההתאמה הזה חייב לקרות. בגלל מתמטיקה פשוטה:
שלוש הוא מספר ראשוני, שתיים הוא מספר ראשוני — ולכן החזקות שלהם לעולם לא יחפפו בדיוק.
אז מה עשו?
הרי אי אפשר להשאיר את כל הקווינטות מושלמות ולזרוק אחת מהן אל הזאב????.
במקום זאת חילקו את הבעיה בין כולן.
כל אחת מהקווינטות קיבלה בערך אחד חלקי שנים עשר מן הזיוף.
מדובר בכשני סנט לכל קווינטה.
(סנט הוא מאית של חצי טון..)
הבדל שרוב האנשים לא ישמעו בפני עצמו.
וזהו למעשה:
טמפרמנט שווה.
או בעברית:
מיזוג שווה.
טמפרמנט שווה הוא החלוקה של המרווח בין הדו הראשון — לדוגמה 100 — לבין הדו הבא — 200 — לשנים עשר חצאי טונים שווים.
ועכשיו נשאלת השאלה:
איזה מספר, אם נכפיל אותו בעצמו שתים עשרה פעמים, ייתן לנו פי שניים?
כי כמו שכבר אמרנו — הכול עובד בכפילויות.
והתשובה היא:
וכמובן, שאני לא מחשב עכשיו...
1.059463...
כל חצי טון גבוה בכ־5.946% מקודמו.
לאחר שתים עשרה הכפלות נגיע בדיוק לפי שניים — כלומר לאוקטבה.
כל חצי טון הוא פשוט הכפלה של:
1.059463.
בואו נספור:
דו (0 חצאי טון) = 100
דו? (1) = 105.95
רה (2) = 112.25
רה? (3) = 118.92
מי (4) = 125.99
פה (5) = 133.48
פה? (6) = 141.42
סול (7) = 149.83
סול? (8) = 158.74
לה (9) = 168.18
סי? (10) = 178.18
סי (11) = 188.77
דו (12) = 200
עכשיו ניקח לדוגמה את ההרמוניה השביעית.
700 חלקי 4 שווה:
175.
מתקבלת הספטימה הטבעית ביחס:
7:4
שערכה:
175.
לעומת זאת, סי? בטמפרמנט שווה נמצא בערך על:
178.18.
כלומר, ההרמוניה השביעית נמוכה בכ־31 סנט מן הסי? שבפסנתר.
לכן היא נשמעת מעט פחות נעימה כאשר משווים אותה ישירות לטמפרמנט השווה.
הטבלה הבאה חושבה ונערכה בעזרת AI לצורך סידור הנתונים:
הרמוניה תדר מחזירים לאותה אוקטבה המרווח התו בקירוב
1 100 100 יוניסון דו
2 200 100 אוקטבה דו
3 300 150 קווינטה זכה סול
4 400 100 שתי אוקטבות דו
5 500 125 טרצה גדולה מי
6 600 150 קווינטה זכה סול
7 700 175 קרוב לסי?, אבל נמוך ממנו בכ־31 סנט ספטימה טבעית
8 800 100 שלוש אוקטבות דו
9 900 112.5 סקונדה גדולה רה
10 1000 125 טרצה גדולה מי
11 1100 137.5 בין פה לפה? לא תו רגיל בטמפרמנט שווה
12 1200 150 קווינטה זכה סול
13 1300 162.5 בין לה? ללה, בין G? ל־A לא תו רגיל
14 1400 175 שוב הספטימה הטבעית קרוב לסי?
15 1500 187.5 ספטימה גדולה בקירוב קרוב לסי
16 1600 100 ארבע אוקטבות דו
כלומר:
דו, דו, סול, דו, מי, סול, ספטימה טבעית, דו, רה, מי, תו ביניים, סול, תו ביניים, ספטימה טבעית, סי, דו.
אז חוץ מהדו עצמו:
ההרמוניה החזקה ביותר היא הקווינטה.
אחריה — הטרצה הגדולה.
ואחריה — הספטימה הטבעית.
אולי מיקסולידי?
ואולי זו אחת הסיבות לכך שהסולם המז'ורי נתפס אצל רבים כטבעי ונעים יותר.
חלק ג׳ — כשהמיתר מספר את הסיפור שלו
מי שמנגן גיטרה מבין עכשיו את עניין האוברטונים.
כשאני עושה אובר טון באמצעות נגיעה עדינה בסריג 12 (או 7 ו־5), (מעל פס המתכת למי שלא מכיר), אני בעצם משתיק את מרכז המיתר. בכך אני מבטל את צליל היסוד ואת חלק מן ההרמוניות שאינן מתאימות לנקודת הצומת שנוצרה, ומשאיר בעיקר את האוקטבה והרמוניות נוספות שמתאימות לתנאי הזה.
ולכן הצליל נשמע נקי יותר, חד יותר וגבוה יותר.
אגב, המיתרים במציאות אינם אידיאליים. הם לא קווים מתמטיים מושלמים על דף. יש להם קשיחות, עובי ותכונות נוספות, וכל אלה גורמים לכך שהמתמטיקה היפה של המספרים לא מתקיימת בדיוק מוחלט.
לכן בפסנתרים מכוונים לעיתים בשיטת Stretch Tuning — מתיחות כיוון — שבה מחדדים מעט את הגבוהים ומנמיכים מעט את הנמוכים, כדי שהאוזן שלנו תשמע את האוקטבות כנקיות יותר.
גם בגיטרה מוכרת הבעיה של מיתר הסול, שלעתים קרובות הוא הקשה ביותר לכיוון — תרתי משמע.
אגב, כל הסאגה הזאת, שלדעתי אפשר לקרוא לה אחת הבעיות המרכזיות במוזיקה, משפיעה בעיניי גם על כך שלא כל הסולמות נשמעים בדיוק אותו דבר.
לדוגמה, סולם בי (B) שונה מסולם סי (דו חה... לא אותו סולם) באופן שהוא מעבר לעניין של יחסיות בלבד.
בתקופת הרנסאנס והברוק השתמשו בשיטות כיוון שונות — Meantone, Well Temperament ואחרות — שבהן סולמות מסוימים נשמעו טהורים ויפים יותר, על חשבון סולמות אחרים. לעיתים אפילו בחרו את שיטת הכיוון בהתאם ליצירה עצמה.
כשאנחנו לוחצים על פדל הסאסטיין בפסנתר, אנחנו מאפשרים גם למיתרים אחרים להיכנס לתהודה.
האוברטונים של דו יכולים לגרום למיתרים הקרובים ליחסים ההרמוניים שלו, כמו סול ומי, להתחיל לרטוט בעוצמה חלשה מעצמם.
זוהי תהודה סימפתטית.
בזכות האוברטונים וההרמוניות אנחנו יכולים להבדיל בין צליל של כלי אחד לאחר, ואפילו בין אותו כלי עצמו כאשר הוא בעל תיבת תהודה שונה.
הכול תלוי בעוצמה היחסית ובמשך הזמן של כל אחד מן האוברטונים.
אגב, לפעמים נשמע תדר כמו 200 הרץ, ובגלל שהוא הכפלה של מאה ומכיל בתוכו את ההרמוניות המתאימות, המוח שלנו עשוי "להשלים" גם את תדר היסוד של 100 הרץ — אף שהוא אינו קיים בפועל.
לכן גם רמקולים קטנים יכולים לעיתים ליצור תחושה של בס עמוק יותר מכפי שהם באמת.
הטרצה הקטנה היא יחס של 6:5.
ככל שהמספרים קטנים יותר, הצליל טבעי ונעים יותר.
אגב, דבר מעניין: יש חוקרים שמצאו שבקריאות בכי מסוימות של תינוקות מופיעים לעיתים מרווחים הקרובים לטרצה קטנה.
אמנם המרווח השכיח יותר הוא שנייה מינורית — סקונדה קטנה — וזו כמובן תצפית מעניינת ולא דבר מוחלט.
המרווח של טרצה קטנה יורדת, בדרך כלל מסול למי, חוזר על עצמו באופן דומה דווקא בהקשר של ילדים המקניטים זה את זה, בכל היבשות ובכל התרבויות.
כלומר: "נענע־נענע" הילדותי.
או אם אתם מכירים את השירה הידועה:
"נה נה בננה שוקולד בננה"...
או משהו כזה.
אם כל זה אומר לכם משהו.
כל העניין הזה גם גורם לשינוי בצליל לפי המקום שבו אני פורט על המיתר.
בפסנתר, הפטיש בדרך כלל פוגע במיתר באזור של כשביעית עד תשיעית מאורכו, כדי להחליש הרמוניות מסוימות — כמו השביעית, הספטימה הטבעית — שאינן נעימות במיוחד, ולהעניק צליל מאוזן יותר.
לכן, אם ננגן בגיטרה ונפרוט בערך בשליש מאורך המיתר, נחליש במיוחד את ההרמוניה השלישית ואת הכפולות שלה.
לעומת זאת, פריטה קרובה יותר לגשר תדגיש הרמוניות גבוהות יותר, ולכן הצליל יהיה חד, בהיר וזכוכיתי יותר.
פריטה קרובה יותר לאמצע הגיטרה והמיתרים תיתן צליל חם ומלא יותר.
אגב, האוזן שלנו עושה דבר מדהים.
קרום הבסיס שבשבלול האוזן מבצע מעין פירוק ספקטרלי של הצליל עוד לפני שהמידע מגיע למוח.
זה אינו פירוק פורייה מתמטי ממש, אבל הוא דומה מאוד ברעיון: תדרים שונים גורמים לאזורים שונים של הקרום לרטוט.

חלק ד׳ — כשהמתמטיקה פוגשת את הצליל
אגב, כיוון באמצעות הרמוניות בסריגים 5 ו־7 מייצר יחסים טבעיים וטהורים.
ולכן הוא אינו תואם לחלוטין לשאר צוואר הגיטרה, שמכוון לפי טמפרמנט שווה.
אגב שני, יש גם טכניקה בגיטרה חשמלית שבה, רגע אחרי הפריטה, נוגעים קלות במיתר ומדכאים את צליל היסוד — תוך הדגשת אחת ההרמוניות הגבוהות.
כך מתקבל אותו צליל חד, צורם ומיוחד שמזוהה כל כך עם הרוק והמטאל.
ובשילוב עם דיסטורשן — האפקט מתחזק אפילו יותר.
הטכניקה הזאת נקראת בדרך כלל:
Pinch Harmonic.
לגבי סינתיסייזר — , בעיקר בסוג Additive — הוא פשוט גאון.
הוא עושה בדיוק את מה שלמדנו כאן: בונה את הצליל מחיבור של הרמוניות רבות.
הוא עושה את פירוק פורייה הזה, רק בכיוון ההפוך.
כמובן, לא כל סינתיסייזר מייצר צליל באותה דרך.
לעומתו, סינתיסייזרים מסוג Subtractive, FM, Wavetable, Sample-based או Physical Modeling יוצרים צליל בדרכים אחרות, ולא באמצעות חישוב מפורש של כל ההרמוניות.
ואגב, זה גם אתגר גדול מאוד למערכות שמנסות לזהות תווים ואקורדים.
אחרי שהמערכת מפרקת את הצליל למרכיבי התדר שלו, היא עדיין צריכה להחליט:
אילו תדרים הם אוברטונים של אותו צליל?
ואילו הם צלילי יסוד אמיתיים שנוגנו במקביל?
עוד משהו מעניין:
אם לא הספיק לכם הפסיק הפיתגורי — יש גם את הפסיק המרקטורי.
ניקולס מרקטור (1620–1687 למניינם) קשור לקירוב טוב יותר של הפסיק במעגל הקווינטות באמצעות 53 קווינטות, שם הוא קטן בהרבה מן הפסיק הפיתגורי.
גם מתמטיקאים סינים, לדוגמה ג׳ינג פאנג — תיאורטיקן מוזיקלי סיני שחי בין 78–37 לפנה״ס — הכירו קירובים מסוג זה כבר לפני מאות רבות בשנים.
ולסיום.
בשנת 1939 הומלץ בכנס בינלאומי בלונדון לקבוע את התו לה בתדר של 440 הרץ.
התקן הזה אומץ מאוחר יותר באופן רשמי על ידי ISO בשנת 1955, ושוב מאוחר יותר באופן סופי בשנת 1975.
כמובן, לאורך ההיסטוריה לא תמיד כיוונו ל־440 הרץ.
בימי הביניים, בתקופת הרנסאנס ואף בתקופות מאוחרות יותר, היו מקומות שבהם הכיוון היה גבוה יותר — ולרוב נמוך יותר.
עד היום יש תזמורות המתמחות בביצוע מוזיקה מתקופת הברוק, המכוונות בערך ל־415 הרץ, משום שזה קרוב יותר לכיוון שהיה מקובל בחלק מן התקופה הזאת.
עד כאן.
נכתב בלילה העמוק, עד הזריחה.